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悖论的现代逻辑分析,兼论何新的新逻辑理念  

2012-12-20 08:54:20|  分类: 默认分类 |  标签: |举报 |字号 订阅

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(作者 悖论迷/首发于科技哲学与逻辑学论坛)

                                      引言

一般来说,研究者是从数学基础和数理逻辑的角度进入悖论这个论题。我不是这样。在我们童年的记忆中有一则经典的寓言“狼来啦“,其经典解释是:不要说谎,否则说真话也没有人相信。

有一天,我发现,那个调皮的牧童说假话的时候说的是“狼来啦“,说真话的时候说的还是“狼来啦“---------这正像悖论,同一句话既是真的,又是假的。

一/关于“说谎者悖论”

以下是常被引用的若干经典悖论:

(1)一个克里特人说:所有的克里特人都是说谎者。

(2)每一句克里特人表述的命题都是假的。

(3)我现在是说谎者。

(4)本命题是假的。

(5)我现在说的这句话是谎话。

(6)"写在这卷书中的一切语句都是假的”,而这个语句是写在这卷书中的唯一语句。

(7)一张明信片的正面只写着“本明信片反面的语句是假的”,而反面只写着“本明信片正面的语句是真的”。

(8)本页本行的这句话是假的。

(9)本下划线上的这句话是假的。

我以前以为(1)--(9)都是悖论。但是根据张建军的分析,才知道(1)--(9)并非悖论,而只是构造成悖论的一部分前提。

悖论是依据共识,从前提中经严密的逻辑推导得出矛盾等价式而形成的。也就是说,完全意义的悖论是由前提、推导、结论和共识(公认正确的背景知识)四要素构成。

例如:我们令符号C作为“下两行的这句话”这个语词的缩写。请考虑语句:C不是一个真语句。根据符号C的意义,我们可以经验地确定:

(A)“C不是一个真语句。”等于C。

根据塔尔斯基(T)规则知:

(B):“C不是一个真语句。”是一个真语句,当且仅当,C不是一个真语句。

(A)与(B)相合得到:C是一个真语句,当且仅当,C不是一个真语句。这就是说谎者悖论的一种严密化表述。

可见,构成一个悖论须具备如下因素:

首先,悖论都表现为或可表现为两个相互矛盾的命题的等价式:P等价于非P。这违背了经典逻辑的矛盾律(又称不矛盾法则)。

其次,虽然悖论是一种逻辑矛盾,但逻辑矛盾并不都是悖论;悖论作为一种特殊的逻辑矛盾,必须具备与普通的逻辑矛盾相区别的如下特征:

(1)任一悖论都是相对于某些共识而言的。在上述悖论所依赖的共识中,有两项已经明确:一是人们对于命题真假值的直觉,塔尔斯基用(T)规则将其巧妙地揭示出来;二是人们对于一个命题可以对其自身有所断定的共识。

(2)任一悖论都是从某些共识合乎逻辑地推导出来的。普通的逻辑矛盾大都是由于在推导过程中发生了逻辑错误或思维混乱造成的,悖论的得出,如上述悖论的得出,在塔尔斯基严格陈述的形态下,运用了代入和定义置换等法则,由严密推导而得出的。因此,悖论不能象普通的逻辑矛盾那样简单地予以排除。

不时有人建议用禁止自我指称的办法,即罗素方案来解决说谎者悖论,但这种意见既太宽泛又太狭窄。说它太宽,是由于它禁止了一些实际上无害而正确的语句,如“本语句是个汉语句子”;说它太窄,是由于它无法禁止说谎者悖论的某些变型,因为并非所有的说谎者悖论的变型都是直截了当地自我指称的,如以下的“明信片悖论”。

二/说谎者悖论的变形——明信片/方框悖论

我认为,在以前所有对说谎者悖论及其变形的分析中,有一个因素完全被忽视了。这个因素是:这种类型的悖论虽然具有非自我指称的特点,但仍不能排除悖论。这在明信片悖论的前提中表现得最为明显。

明信片悖论的前提是:一张明信片的正面只写着“本明信片反面的语句是假的”,而反面只写着“本明信片正面的语句是真的”。

试问:在明信片悖论前提中,明信片本身是什么?它是不是明信片悖论隐含的一个设定?换言之,如果将该明信片撕了,上述明信片悖论是否仍能存在?

将明信片悖论再做一次变形,就可以得到方框悖论。

什么是方框悖论?试表述如下:

-------“本方框中的语句是假的。”(以引号代替方框)

试问:方框(引号)中这句话的语义,究竟应当看作是真的还是假的?

(1)假定这句话被断定为真实,则意味着它的内容符合实际情况------然而该内容所断定的却是此方框中的语句为假,且方框中只有这唯一一个语句;由此应引出结论:这个语句应是假的。

(2)反之,假定我们断定这一语句是假的,然而这恰恰正是它的内容本身所述说的(一个说假话的人承认自己说的是假话)-----因而又意味着这个语句实际是真实的。

简言之,若假定它真,则可推断它为假;若假定它假,则又可推断它真。这是一种逻辑的自我困境。用现代逻辑的术语表述即为:该语句是真的,当且仅当,它是假的。这样,就构成了一个最简单同时也是最典型的逻辑悖论。

从语用学角度看,悖论所造成的语言困境通常仅仅近乎一种语言游戏,并不会造成真实语言交际和表达的困难。但是悖论在语形和语义学中的发现,却揭示了人类语言工具内涵的先天缺陷 ,而在数学这种需要精密定义语言的科学中,悖论的发现导致了语言和逻辑基础的重大危机。

三/形形色色的悖论

弗.雷姆塞认为,可以将悖论划分为两大类型,即集合论悖论(自指性悖论)和语义悖论,前者的代表是罗素悖论,而后者的代表就是说谎者悖论。

罗素悖论即所谓类词自我指称而导致的悖论。此类悖论可以用日常语言表述,例如以下一种悖论形式:

某城市作出一个规定——将所有需刮胡须的人分为两类,一类是自己给自己刮胡须的,另一类是自己不给自己刮胡须的。而规定是:在本城中凡是不自己刮胡须的人,都必须由唯一一位理发师来刮胡须。

随之而来的问题是:如果严格执行这个规定,那么该理发师自己的胡须应该由谁刮?

如果也由该理发师刮,那么按照上述规定———他就是属于自己给自己刮胡须的人,所以不能由自己来刮。

然而如果不刮,那么按照上述规定,该理发师就是属于自己不给自己刮胡须的人,所以应该由他来刮。这就是逻辑史上著名的所谓“理发师/理查德悖论”,该悖论的困境是与语词自我指谓有关而造成的。(所谓“罗素悖论”原叫理查德悖论,其实本不应用罗素命名,在古希腊早就被古人发现很久了。)

然而,除了上述两类悖论,何新指出,还有若干与本体自身的矛盾性质有关的本体论悖论。例如:

a/赫拉克利特以下列命题形式提出的本体悖论:

1存在与非存在相同一。

2我们踏进又不踏进同一条河,我们存在又不存在。

3不死的是有死的,有死的是不死的。

4我们身上的生和死、醒和梦、少和老始终是同一的。等等。

b/芝诺关于时空及运动的悖论:

1阿基里斯追不上龟。

2无限二分不可能。

3飞箭不动。

4单位时间的1/2等于其2倍数。

c/《庄子.,天下篇》悖论:

1至大无外,谓之大一。至小无内,谓之小一。

2日方中方倪,物方生方死。

3飞鸟之景,未尝动也。

4一尺之棰,日取其半,万世不竭。等等。

d/康德关于宇宙本体论的辩证悖论:

1宇宙在时空上有限,同时无限。

2宇宙是单一的,同时是复合的。

3宇宙运动是自由的,同时是为规律所制约的。

4宇宙进程是必然的,同时是偶然随机的。

又如现代物理学中关于光的玻粒二象性悖论,相对论的时空非同一性悖论,以及海森堡悖论,薛定锷悖论等。这类悖论都与宇宙时空存在自身的矛盾性质有关,逻辑困境是在模拟和表述对象矛盾本体的过程中发生的,因此属于本体论悖论。

四/悖论是否能得到统一的解?

罗素企图修补形式逻辑,曾提出试图用一条禁律"禁止自我指称"来消除悖论----这条禁律意思是任何指号在指谓对象时,必须首先排除自身。结果这条禁律是自我破坏逻辑。因为同一律A=A,也是自指;同时矛盾律A≠A也是自指。如果不允许自指,上述规律即不能存在。因此有的自指是被默认的。那么何以有的自指得到允许,有的就得不到允许;为什么?可惜罗素死了,要不这个问题只能请他本人来回答。

实际上罗素设定的“禁止自指”这个附加公理,就已经是承认原有的逻辑公理体系是不完备的。罗素认为“自指"是通过模型论或代表论来实现的。人类经常用选代表来代表集体,这就是模型论的基础。在一个集体中,人们就是造出一个抽象的人来代表所有的人。

罗素提出“高阶逻辑”,实际就是划分概念的阶层性。为了避免矛盾和悖论,罗素提出分阶论。但是他除了设计出一阶谓词逻辑之外,本想再搞出什么二阶、三阶的,但是实际并没有设计出来。其后继者则用一阶的连续套用,就是二阶,三阶的等等。

由于罗素设立的公理体系仍无法解决悖论,因此塔尔斯基又提出语言层次论。语言层次论——就是塔尔斯基对于“说谎者悖论”的解决方案。

经过对若干悖论的分析,塔尔斯基确认,在说谎者悖论的精确表述中,有着如下三个设定:

(1)在构成悖论的语言中,不仅包含了这种语言的表达式,也包含了这些表达式的名称,同时还包含了象“真的”这样属于该语言自身的语义学概念,并且可以在其中作出关于该语言中任一合式语句的语义学描述和断言,比如某语句为真或假,两语句同义等。塔尔斯基称这种语言是“语义上封闭”的语言。

(2)通常的逻辑规律仍是有效的。

(3)在该语言中可以表述并且断言象“印在本页第X行的语句即c”这样的经验前提。

塔尔斯基认为,对于悖论的构成,(3)并非必不可少,(1)、(2)是必需的。

因此,塔尔斯基采取的方案是承认(2)而否定(1)。

他说:

“既然我们已同意不使用语义上封闭的语言,那就必须使用两种不同的语言来讨论真理的定义以及更广泛地讨论语义学领域内的任何问题。

其中第一种是‘被谈论’的语言,它是谈论的对象;我们所寻求的真理定义便是要应用于这种语言的语句上去的。第二种则是这样的语言,它是我们用来‘谈论’第一种语言的,我们尤其希望利用它来为第一种语言构造真理定义。”

也就是说,塔尔斯基把人们平时不加区分地使用的真值谓词“真”和“假”,改造成为仅仅“在某语言中真”和仅“在某语言中假”。

依据这种语义开放性要求,可以拒斥已知的语义悖论。如“本命题是假的”须改造成“本命题在某语言中是假的”,譬如“本命题在语言o上是假的”由于它本身是语言m的一个命题,它不可能在o上为真,从而不再产生悖论。

塔尔斯基通过由上到下的语言层次的划分,从表面的语言形式上可以避免悖论。但从哲学的角度看,悖论仍然难以解决。而且塔尔斯基的解决方案具有特设性。另外,把真假看作“有规则的歧义谓词”有违人们的某些直觉,而这些直觉并不比关于(T)式的直觉更复杂。

五/关于历史概念类集——何新的新逻辑工具探索

何新引入了一个新的逻辑范畴——历史概念类集,对黑格尔逻辑理论作出了全新的揭示,这对于悖论的最终解决极富启发。

在关于塔尔斯基的“说谎者悖论”解决方案介绍中,我已经指出:塔尔斯基确认,在说谎者悖论的精确表述中,有着(1)、(2)、(3)三个设定——如前所述,对于悖论的构成,(3)并非必不可少,(1)、(2)是必需的。因此,塔尔斯基采取的方案是承认(2)而否定(1)。

但从“历史概念类集”来看,其设定(2)未必成立,也就是说,传统逻辑的三大思维规律:同一律、排中律和矛盾律并非不证自明的永恒公理。

我们知道,在古今的一切逻辑理论中,只有黑格尔的逻辑理论彻底质疑经典逻辑的矛盾律(又称不矛盾法则)的公理地位,质疑通常的逻辑规律是否永恒有效。

因此,近代逻辑学界对黑格尔逻辑是排斥的。德国逻辑史家亨利希.肖尔兹的观点颇为典型地反映了这个态度,他说:

“黑格尔的《逻辑学》同亚里士多德意义的逻辑有联系的只是第二卷,并且只是通过歪曲的图象。而这个歪曲的图象在黑格尔那里只是一种混杂物,它的存在是这部本身是谜的著作中最大的谜之一。

这部著作的其余部分同亚里士多德逻辑则毫无关系,而且是天远地隔。它的表述是亚里士多德学派所完全不可理解的。一个亚里士多德学派的人怎么能同意一种以取消矛盾律和排中律两个基本命题为开始的《逻辑学》呢?”

然而,何新颇有新意地指出,黑格尔的逻辑理论之所以如此奇特古怪,偏离正常轨道,并非因为黑格尔不懂古典形式逻辑,而是因为:黑格尔在《逻辑学》中超越了古典形式逻辑的论域,探索了古典逻辑所从来没有涉足过的一个新概念领域——历史概念类集。

那么,什么是“历史概念类集”?

何新所著《思辨逻辑引论——一种新逻辑的探索》中有较详细的论述。在此试作以下摘述。

考察以下的几组概念:

概念系统一:生物{原生物→单细胞生物→多细胞生物→脊椎动物→人类}

概念系统二:中国{......夏→商→周→秦→汉→......唐→宋→元→明→清→......}

概念系统三:植物{种子→芽→花→果实}

在概念系统一中,通过由“原生物”至“人类”的一组概念,描述了生物物种的进化史。

在概念系统二中,通过由“夏朝”至“清朝”的一组概念,描述了中国社会的朝代演变史。

在概念系统三中,通过由“种子”至“果实”的一组概念,描述了一株植物的发育生长史。

类似的概念系统,任何科学领域中,都是经常可以遇到的。它们具有以下特征:

(一)这种概念系统中的每一个概念,都与一定的时间坐标相关。如在“中国”中,“唐朝”的时间坐标是公元618年—907年。

(二)这种概念系统通过系统中一系列概念的有序过渡,描述了某一事物的发展过程。

(三)这种概念系统中的每一个概念,都对应于事物的一定的历史阶段。

何新陈述说:我们把各门科学中这一类用以描述事物发展历史的概念系统,命名为“历史概念类集”。它的定义是:

若有一个概念集合A,其中的每一子概念{a1,a2,a3,...an},均分别对应于某一客体A的历史发展进程,而且彼此之间具有递进有序的时序关系,则我们称集合A为描述客体A的历史概念类集。其一般形式可规定为:A{a1,a2,a3,...an}。

何新指出:历史概念类集具有与普通的概念系统十分不同的逻辑性质。

其一:分类是大自然作出的。

事实上,我们观察人类思维中的概念系统,可以发现存在两种类型的分类概念系统:人工分类和自然分类(非人工分类)。例如:对图书馆书架上的书,我们根据述的内容(哲学/历史/物理/航天之类)、著者的姓名(以字母为序)等等,以任意的一种特征为标准进行分类处理。这样建成的分类系统,它的抽象依据是人为的。

传统形式逻辑和现代的集合论,它们所面对的分类概念以及所谓“集合”,都是这种分类。

何新指出,除此之外,还有一种非人工的分类。这种分类系统首先在生物学中出现。生物学家在建立生物分类的概念系统时,发现了一种存在于生物本身的分类根据,这就是生物自身的遗传性状。在现实中,一对狮子绝不可能生殖出一只猫。这就是大自然自身的客观分类。

其二:概念具有自身运动。试以历史概念类集:人类{类人猿→猿人→真人}为例,作一说明。

人类的概念,最初起源于“类人猿”,即“猿”的概念。在“猿”之后,人类这个历史概念类集中相继产生了两个新概念——“猿人”和“人”,一系列复杂的概念关系也在这个过程中形成。

首先,“猿”与“猿人”是两个内涵有差异的概念。这种内涵差异,是一种互相否定的关系,表现为判断即是:“猿非猿人”,并且“猿人非猿”。这种“非”关系,正是概念的矛盾关系。可见,矛盾关系乃是通过一个概念自身的发展,从同一关系中产生的。

在“猿人”的概念之后,人类这个历史概念类集中又出现了“真人”(即“人”)的概念。一方面,“人”与“猿人”,正如“猿人”与“猿”一样,既有差别、矛盾的关系,又有同一性的关系。

另一方面,“人”与“猿”这两个概念,却是两个内涵互不相容、互相否定的对立概念。通过矛盾关系的中介,这里我们看到了对立关系从同一关系中形成。

同时,随着一系列子概念的产生,最初只有一个单一子集的“人类”这个集合,也逐渐发展成为多子集的,即具有一系列从属于它的子概念的种概念,这样就演化出了概念的种属关系。

由于“猿人”乃是中介于“猿”与“人”这一对对立概念之间的过渡概念,所以它构成了“猿”与“人”这一对概念的交叉环节。在此我们看到了概念交叉关系的由来。

总结上述分析,可见:在一个历史概念类集中,概念的逻辑关系是由简单向复杂地发展出来的,它的发展规律是:同一关系→矛盾关系→交叉关系→对立及种属关系。

换句话说,历史概念类集作为独立的概念系统,最初是由自身同一的单一性概念,逐渐演化为多元化和多样性的复杂概念以及复杂的概念关系。

简单地说,“历史概念类集”对我解决“说谎者悖论”的启发主要有两点:

其一解决“说谎者悖论”实际上相当于从哲学上和逻辑形式上两个方面证明矛盾律。

其次,由于“历史概念类集”将时空坐标引入了概念系统,使我门看到将时空坐标引入“说谎者悖论”的解决方案,存在一种新思路。

(顺便应指出,日本有逻辑学家于80年代中期提出在逻辑表述中引入时间矢标的所谓时间逻辑,但这种“时态逻辑”仍从属于传统逻辑的范畴,何新的上述逻辑观念与这种时间逻辑的意义,从根本上是完全不同的。)

——————————

主要参考书籍:

1张建军.科学的难题——悖论.浙江科学技术出版社.1990.

2徐利治.数学方法论选讲.华中理工大学出版社.1988.3

 

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